¿Qué es mínimos cuadrados?

Los mínimos cuadrados es un método matemático utilizado para ajustar una línea o una curva a un conjunto de puntos de datos. El objetivo es encontrar la línea o curva que minimice la suma de los cuadrados de las diferencias entre los valores predichos y los valores reales.

En su forma más simple, el método de mínimos cuadrados se utiliza para ajustar una línea recta a un conjunto de puntos bidimensionales. La ecuación de una línea recta es y = mx + b, donde m es la pendiente de la línea y b es el intercepto en el eje y. El método de mínimos cuadrados calcula los valores de m y b que minimizan la suma de los cuadrados de las diferencias entre los valores predichos y los valores reales en el conjunto de puntos. Estos valores se pueden calcular utilizando las siguientes fórmulas:

m = (n * Σ(xy) - Σx * Σy) / (n * Σ(x^2) - (Σx)^2)

b = (Σy - m * Σx) / n

donde n es el número de puntos, Σ(xy) es la suma de los productos de las coordenadas x e y, Σx es la suma de las coordenadas x, Σy es la suma de las coordenadas y, y Σ(x^2) es la suma de los cuadrados de las coordenadas x.

El método de mínimos cuadrados se puede utilizar para ajustar una curva polinómica a un conjunto de puntos tridimensionales o más. En este caso, la ecuación de la curva polinómica tiene la forma y = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n, donde a0, a1, a2, ..., an son los coeficientes de la curva. Los valores de los coeficientes se pueden calcular resolviendo un sistema de ecuaciones lineales derivado del método de mínimos cuadrados.

El método de mínimos cuadrados tiene numerosas aplicaciones en diversos campos, como la estadística, la econometría y la ingeniería. Se utiliza para modelar y predecir fenómenos basados en datos observados y para encontrar relaciones entre variables. También se utiliza en el análisis de regresión para determinar la relación entre una variable independiente y una variable dependiente. En resumen, los mínimos cuadrados son una herramienta útil y ampliamente utilizada para ajustar líneas y curvas a conjuntos de datos.